Geometric dissipation in kinetic equations

A new symplectic variational approach is developed for modeling dissipation in kinetic equations. This approach yields a double bracket structure in phase space which generates kinetic equations representing coadjoint motion under canonical transformations. The Vlasov example admits measure-valued single-particle solutions. Such solutions are reversible; and the total entropy is a Casimir, and thus is preserved. To cite this article: D.D.Holm, V. Putkaradze and C. Tronci, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I XXX (2007). Résumé Une nouvelle approche est proposée pour modeliser la dissipation dans les équations cinétiques. Cette approche produit une structure à double crochet dans l’espace des phases qui conduit aux équations cinétiques d’une dynamique coadjointe après transformations canoniques. L’exemple de Vlasov admet alors des solutions pour particule unique. Ces solutions sont réversibles ; l’entropie totale est un Casimir et est donc préservée. Pour citer cet article :D.D.Holm, V. Putkaradze and C. Tronci, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I XXX (2007). Version française abrégée Une nouvelle approche est proposée pour la modélisation des phénomènes dissipatifs dans les équations cinétiques [4,14]. Cette construction est réalisée de telle sorte que la géométrie de la variable dynamique est préservée : en particulier, nous considérons l’équation de Vlasov [14] comme Email addresses: [email protected] (Darryl D. Holm), [email protected] (Vakhtang Putkaradze), [email protected] (Cesare Tronci). Preprint submitted to the Académie des sciences 28 février 2008 modèle naturel de conservation dans l’espace des phases. De plus nous introduisons une quantité particulière nommée “mobilité”, inspirée par analogie avec la loi de Darcy pour systèmes continus avec auto-agrégation [6,7,8]. Dans ce cas, on introduit la mobilité comme le facteur de proportionnalité entre la force agissant sur les particules et leur vitesse. Nous nous intéressons ainsi à une forme de dissipation qui peut généraliser les phénomènes d’auto-agrégation aux systèmes cinétiques dans l’espace des phases. Une telle approche produit une structure à double crochet [1] dans l’espace des phases similaire à celle présentée dans la littérature pour la modélisation de certains systèmes astrophysiques [10]. Cette structure génère une dynamique coadjointe réversible (Éq. 2) via l’action des transformations canoniques. On trouve finalement que toutes les fonctionnelles de la distribution sont de type Casimir et que l’entropie est préservée (Proposition 2.2). L’innovation de notre approche se voit dans le rôle que la mobilité peut jouer comme opération de filtre (o moyenne) sur la fonction de distribution des particules. Par conséquent on définit la mobilité comme une fonctionnelle de la distribution des particules. Ce fait conduit à l’existence de la solution de particule unique qui n’est pas présente dans les anciennes approches et représente le résultat principal de cet article (Théorème 3.1).